Ley de senos

La idea

En un triángulo, el lado más largo está frente al ángulo más grande. La ley de senos convierte esa intuición en una proporción exacta: el cociente entre un lado y el seno del ángulo opuesto es el mismo para los tres lados. Funciona en cualquier triángulo, no solo en los rectángulos.

Por qué funciona

Trazá la altura $h$ desde el vértice $C$ hasta el lado $c$. Esa altura es cateto de dos triángulos rectángulos, así que:

Igualando, $b\sin A=a\sin B$, es decir $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$. Repitiendo con otra altura se incluye a $c$. El valor común es $2R$: si se inscribe el triángulo en una circunferencia y se traza un diámetro desde un vértice, el ángulo inscrito que abarca el mismo arco permite ver que $a=2R\sin A$.

Cuándo usarla

La ley de senos resuelve un triángulo cuando se conocen:

• dos ángulos y un lado (ALA o AAL): siempre hay una única solución;
• dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA): el famoso caso ambiguo, que puede dar cero, una o dos soluciones, porque $\sin \theta =\sin (180^{\circ }-\theta )$.

Cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, en cambio, hace falta la ley de cosenos.

Dónde se usa hoy

• Triangulación: durante siglos los cartógrafos midieron países enteros midiendo con precisión una sola base y luego solo ángulos. El Gran Arco Meridiano de la India (siglo XIX) y la medición del meridiano de París se hicieron así.
• Navegación y astronomía: ubicar un barco o un faro a partir de los ángulos con que se ven dos puntos conocidos.
• Ingeniería: calcular fuerzas en estructuras triangulares como cerchas de techos y grúas.