Fórmulas del ángulo doble

La idea

Duplicar un ángulo no duplica su seno: $\sin 60^{\circ }\approx 0,866$, no $2\cdot \sin 30^{\circ }=1$. Las fórmulas del ángulo doble dicen qué pasa realmente. Basta tomar $\alpha =\beta =\theta$ en las fórmulas de la suma:

Tres caras del coseno doble

Usando la identidad pitagórica ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$, el coseno doble puede escribirse de tres maneras:

Despejando de las dos últimas aparecen las fórmulas de reducción de potencias:

que permiten integrar ${\sin }^{2}x$ o calcular el promedio de una onda al cuadrado (que vale exactamente $\frac{1}{2}$). Leídas al revés, dan las fórmulas del ángulo mitad.

Dónde se usa hoy

• Física de proyectiles: el alcance horizontal de un tiro sin rozamiento es $R=\frac{v^2\sin 2\theta }{g}$. Como $\sin 2\theta$ es máximo cuando $2\theta =90^{\circ }$, el ángulo óptimo es $45^{\circ }$, y ángulos complementarios como $30^{\circ }$ y $60^{\circ }$ dan el mismo alcance.
• Electricidad: la potencia de una corriente alterna oscila al doble de la frecuencia de la red, por la fórmula de ${\sin }^2$.
• Cálculo: integrales como $\int {\sin }^{2}xdx$ se resuelven con reducción de potencias.
• Óptica: la intensidad de luz que pasa por dos polarizadores sigue la ley de Malus, $I=I_0{\cos }^2\theta$.