Fórmula cuadrática

Da las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado a partir de sus tres coeficientes.

Completar el cuadrado

La fórmula sale de una idea geométrica: convertir $x^{2} + b x$ en un cuadrado perfecto. Dividiendo la ecuación entre $a$ y sumando $(\frac{b}{2 a})^{2}$ a ambos lados:

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}

Sacando raíz cuadrada (con sus dos signos) y despejando $x$ , aparece la fórmula. Al-Juarismi lo hacía literalmente con dibujos: un cuadrado de lado $x$ rodeado de rectángulos, al que le faltaba una esquina para completarse.

El discriminante decide

La cantidad $Δ = b^{2} - 4 a c$ indica cuántas soluciones reales hay:

$Δ > 0$ : dos soluciones distintas (la parábola corta dos veces el eje $x$ ).
$Δ = 0$ : una solución doble (la parábola apenas lo toca).
$Δ < 0$ : ninguna real, pero sí dos complejas conjugadas.

Dónde se usa

Física: el tiempo que tarda en caer una piedra lanzada hacia arriba resuelve $h + v t - \frac{g}{2} t^{2} = 0$ .
Economía: puntos de equilibrio cuando ingresos y costos dependen del cuadrado de la producción.
Gráficos por computadora: para saber si un rayo de luz choca con una esfera se resuelve una cuadrática; los videojuegos lo hacen millones de veces por segundo.
Geometría: el número áureo es la raíz positiva de $x^{2} - x - 1 = 0$ .

Más allá del grado dos

Para las ecuaciones cúbicas y cuárticas existen fórmulas análogas, halladas en la Italia del siglo XVI por Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari. Para el grado cinco, Abel y Galois demostraron en el siglo XIX que no puede existir una fórmula general con raíces.

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El discriminante decide

Dónde se usa

Más allá del grado dos

Escribas babilonios, Brahmagupta y al-Juarismi

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