Número áureo

La división más armoniosa

Dividamos un segmento en dos partes, una mayor $a$ y una menor $b$, de modo que el todo sea a la parte mayor como la mayor a la menor:

Llamando $x=\frac{a}{b}$, la condición queda $1+\frac{1}{x}=x$, es decir $x^2=x+1$. La solución positiva de esa ecuación cuadrática es $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Propiedades curiosas

• ${\phi }^2=\phi +1\approx 2,618$ y $\frac{1}{\phi }=\phi -1\approx 0,618$: mismas cifras decimales.
• Es el número «más irracional»: su fracción continua es $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}$, la que peor se aproxima con fracciones.
• Los cocientes de números de Fibonacci consecutivos (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) se acercan a él: $\frac{21}{13}\approx 1,615$, $\frac{89}{55}\approx 1,6182$.
• En el pentágono regular, la diagonal dividida por el lado da exactamente $\phi$; por eso aparece en el pentagrama, símbolo de los pitagóricos.

Naturaleza y mito

En muchas plantas, las hojas y semillas se disponen separadas por el ángulo áureo (unos $137,5^{\circ }$), lo que forma las espirales de los girasoles y las piñas, con cantidades de espirales que suelen ser números de Fibonacci. El árbol genealógico de un zángano también sigue la sucesión de Fibonacci.

Pero mucho de lo que se repite es leyenda: no hay pruebas de que los constructores del Partenón, las pirámides o Leonardo en la Mona Lisa usaran deliberadamente $\phi$, y la concha del nautilo es una espiral logarítmica que en general no es áurea.

Dónde se usa

En diseño gráfico y arquitectura como recurso estético (Le Corbusier lo incorporó en su sistema Modulor), y en informática en técnicas como la búsqueda de la sección áurea.