Regla de Cramer

Reemplazar una columna

La regla de Cramer da una receta mecánica para resolver sistemas lineales. Para hallar $x$, se toma el determinante de la matriz de coeficientes y se reemplaza la columna de $x$ por la columna de términos independientes; el cociente entre ese nuevo determinante y el original es $x$. Igual para $y$, reemplazando su columna.

Funciona con cualquier número de incógnitas: un sistema de $n\times n$ se resuelve con $n+1$ determinantes de tamaño $n$.

De dónde sale

Para dos ecuaciones, basta eliminar una incógnita. Multiplicando la primera por $d$ y la segunda por $b$ y restando:

Si $ad-bc\ne 0$, se divide y aparece la fórmula. Geométricamente, $x$ es el cociente entre dos áreas de paralelogramos: el formado por los vectores $(e,f)$ y $(b,d)$ y el formado por las columnas originales.

Si el determinante es cero, la regla no se puede aplicar: las dos rectas son paralelas o la misma, y no hay solución única.

Teoría versus práctica

La regla de Cramer es elegante y muy útil para sistemas de 2 o 3 incógnitas, y en teoría porque da una fórmula cerrada de la solución: permite ver, por ejemplo, cómo cambia $x$ si se modifica un coeficiente. Pero para sistemas grandes es lentísima, ya que calcular muchos determinantes es costoso. Las computadoras que resuelven sistemas con miles de incógnitas, como los de pronóstico del tiempo o estructuras de puentes, usan eliminación gaussiana o métodos iterativos.

Dónde se usa

• Problemas de mezclas, precios y edades con dos o tres incógnitas.
• Intersección de dos rectas en geometría analítica.
• Economía: modelos de oferta y demanda con varios mercados.
• Circuitos eléctricos con pocas mallas (leyes de Kirchhoff).